리우빌의 정리

1. 개요2. 증명3. 여담4. 관련 문서

1. 개요 [편집]

Liouville's theorem
복소해석학에서 사용되는 가장 우아한 정리중 하나로, '복소평면상의 영역

D

의 내부에서 유계인 전해석 복소함수[1]는 상수함수밖에 없다.'라는 정리다.

관련 문서에 이름과 실제가 다른 것이라고 적힌 이유는, 리우빌의 정리라는 이름이지만 이 정리를 실제로 증명한 사람은 바로 오귀스탱 루이 코시이기 때문.

엄밀히 말하면 1844년에 코시가 특정 영역상에서 전해석 함수(entire function)이며 유계인 함수는 그 영역 내부에서 상수함수라는 것을 증명했으며, 리우빌은 3년 뒤인 1847년에 극점(pole)을 갖지 않는 타원함수는 상수함수라는 것을 증명했다.

타원함수는 복소평면상에서 두 복소수 방향으로 주기

\omega_1, \omega_2

를 갖는 함수로, 두 세타함수의 비로 나타낼 수 있는데 그 표현꼴 중 하나로

\left(m, n\right)\in \mathbb{C}^2

일 때

\{m\omega_1+n\omega_2\}

로 축약할 수 있다. 그런데,

\left(m,n\right)\in\left[0,1\right]

로 두면 이 안에서 주기를 어떻게 줘도 저 함수값은 복소수 범위 내에서 최대값을 가지게 되므로 유계가 되고, 따라서 리우빌의 정리에 의한 자명한 결과로 상수함수가 될 수 밖에 없는데 이 정리가 원래 증명자인 코시의 이름을 덮어버린 것.

참고로 이 결과값에 의하여 타원함수는 극점을 반드시 2개 이상[2] 가지는 함수라는 성질을 지닌다. 0개 지닐 경우는 상수함수라서 무시할 수 있기 때문.

2. 증명 [편집]

코시 적분공식

함수

f

가 단순연결영역

\mathcal{D}

에서 해석적일 경우,

\mathcal{D}

내부의 임의의 단순 폐곡선

\mathcal{C}

에 대하여, 폐곡선 내부의 점

z_0

을 잡으면

$\displaystyle\oint_{\mathcal{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_0\right)^{n+1}}dz=\frac{2\pi i}{n!}f^{\left(n\right)}\left(z_0\right)$

코시 부등식의 유도

먼저, 임의의 단순 폐곡선에 대하여 코시 적분공식이 성립하므로,

\mathcal{C}:\left|z-z_0\right|=R

로 둬도 성립한다.

\displaystyle\oint_{\mathcal{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_0\right)^{n+1}}dz=\frac{2\pi i}{n!}f^{\left(n\right)}\left(z_0\right)

이므로,

\displaystyle f^{\left(n\right)}\left(z_0\right)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{\mathcal{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_0\right)^{n+1}}dz

로 표기할 수 있다.
이제, 양 변에 절대값을 씌우자.

\displaystyle \left|f^{\left(n\right)}\left(z_0\right)\right|=\left|\frac{n!}{2\pi i}\right|\oint_{\mathcal{C}}\frac{\left|f(z)\right|}{\left|z-z_0\right|^{n+1}}\left|dz\right|

그런데, 최대 크기 원리(Maximum Modulus Principle)에 의하여 이 함수가 최대값이 존재한다면. 즉 유계라면 그 최대값이 되는 지점은 경계선상. 즉 여기서는

z_0

을 중심으로 하는 원주상에 존재해야 한다. 함수

f

는 전제에서 해석적이라 했으므로, 최대값이 존재한다고 가정하자.
즉,

\left|f(z)\right|\leq M_R

을 만족하는 양의 실수

M_R

이 존재한다.
그러면,

\displaystyle \left|f^{\left(n\right)}\left(z_0\right)\right|=\left|\frac{n!}{2\pi i}\right|\oint_{\mathcal{C}}\frac{\left|f(z)\right|}{\left|z-z_0\right|^{n+1}}\left|dz\right|\leq\left|\frac{n!}{2\pi i}\right|\oint_{\mathcal{C}}\frac{M_R}{\left|z-z_0\right|^{n+1}}\left|dz\right|

이 됨은 자명하다.
그런데,

\left|z-z_0\right|=R

이며,

M_R

은 상수이므로, 적분 밖으로 빼낼 수 있다.
즉,

\displaystyle \left|f^{\left(n\right)}\left(z_0\right)\right|\leq\left|\frac{n!}{2\pi i}\right|\frac{M_R}{R^{n+1}}\oint_{\mathcal{C}}\left|dz\right|

이 되고,

\displaystyle \oint_{\mathcal{C}}\left|dz\right|=2\pi R

이므로

\displaystyle \left|f^{\left(n\right)}\left(z_0\right)\right|\leq\left|\frac{n!}{2\pi i}\right|\frac{M_R}{R^{n+1}}\oint_{\mathcal{C}}\left|dz\right|=2\pi R\left|\frac{n!}{2\pi}\right|\frac{M_R}{R^{n+1}}=\frac{n! M_R}{R^n}

.
즉

\displaystyle \left|f^{\left(n\right)}\left(z_0\right)\right|\leq\frac{n! M_R}{R^n}

이 된다.(Q.E.D.)

코시 부등식을 적분공식에서 유도했다. 이걸 전제로 아래 증명을 시작하자.

리우빌의 정리의 증명

함수

f

가 전해석함수이며, 복소평면에서 유계라고 가정하자.
이 때, 이 함수는 전해석함수이므로 복소평면의 임의의 점

z_0

과, 그 점을 중심으로 반지름이

R

인 양의 방향의 원,

C_R

의 둘레와 그 내부에서 항상 해석적이므로, 코시 부등식(Cauchy's inequality)에 의하여 다음이 성립한다.

$\left|f^{\left(n\right)}(z_0)\right|\leq\displaystyle \frac{n! M_R}{R^n}$

(단,

M_R

은

C_R

상에서의

\left|f\left(z\right)\right|

의 최대값이다.)

이제, 이걸 기반으로 증명해보자.

f

는 전해석함수이므로 임의의

z_0

와

R

을 선택하더라도, 그 내부에서 항상 해석적이다.

\left|f^{\left(n\right)}(z_0)\right|\leq\displaystyle \frac{n! M_R}{R^n}

에서

n=1

을 취하자.
그러면, 이 부등식은

\left|f'(z_0)\right|\leq\displaystyle \frac{M_R}{R}

이 된다.

그런데, 전제로 함수

f

는 유계이므로, 음이 아닌 상수

M

이 존재하여,

\forall z \in C

에 대해,

\left|f(z)\right|\leq M

이 성립한다.
또한,

M_R

은 범위

C_R

의 경계선상에서

\left|f(z)\right|

의 최대값인데,

f

가 유계이므로,

M_R\leq M

이 성립하므로,

\left|f'(z_0)\right|\leq\displaystyle \frac{M_R}{R}\leq \frac{M}{R}

이 되고,
따라서

\left|f'(z_0)\right|\leq \displaystyle \frac{M}{R}

이 된다.
그런데,

M

과

R

은 임의의 독립적인 음이 아닌 실수이므로,

\epsilon

을 임의의 음이 아닌 실수라고 했을 때,

R

을 충분히 크게 잡아서

\displaystyle \frac{M}{R}

의 값을

\epsilon

보다 작게 만들 수 있다.
그러므로,

\left|f'(z_0)\right|\leq \displaystyle \frac{M}{R}

을 모든

M, R

에 대해 항상 만족시키기 위해서는,

f'(z)=0

이어야 한다.
어떤 영역의 모든 점에서

f'(z)=0

이므로, 함수

f

는 주어진 영역

C_R

에서 상수함수가 되며,

R

역시 임의로 크게 잡을 수 있으므로, 복소평면 전체에서

f

는 상수함수가 된다.
따라서,

f

가 복소평면 전체에서 유계인 함수라면, 상수함수가 되어야 한다.(Q.E.D.)

3. 여담 [편집]

대수학의 기본정리를 증명하는 방법 중 하나다.
이 정리를 최초로 증명한 사람은 상술했듯 코시이고 리우빌은 따름 정리만 증명했다.

4. 관련 문서 [편집]

이름과 실제가 다른 것

[1] 즉, 적당한 양의 실수

M

가 존재하여,

\forall z \in D, \left|f(z)\right|\leq M

라는 소리.[2] 중첩해서 1개가 될 수도 있다.